Capita a tutti di dover organizzare ed ordinare gli oggetti più svariati, come i nostri documenti o i file sul nostro Pc; in questo caso, raccogliamo i file nelle cartelle, riunendo i file che contengono elementi In… Relazione tra loro. Quindi, organizzare un insieme vuol dire ripartire i suoi elementi in gruppi.

Se vogliamo mettere ordine fra tutte le foto che si trovano nell’hard disk del nostro PC, bisogna creare un criterio che indichi quali fotografie devono stare in un gruppo, e quali in un altro; due foto si troveranno nello stesso gruppo, se fra loro c’è una certa Relazione, per esempio se sono state scattate nella stessa occasione, o nello stesso anno. In entrambi i casi, le fotografie risulteranno organizzate ed ordinate.

Definire una Relazione significa quindi stabilire un legame tra due elementi di uno stesso insieme o di due insiemi diversi. Prendendo in considerazione un unico insieme, è possibile identificare particolari tipi di relazioni.

Se l’Amministrazione di una città volesse migliorare il sistema dei mezzi di trasporto, potrebbe decidere di catalogare e raggruppare tutti gli studenti In….. Relazione al mezzo di trasporto che utilizzano per andare a scuola.

Allora si potrebbe stabilire tra gli studenti la seguente relazione: xRy (x è in relazione con y) se “x è uno studente che utilizza lo stesso mezzo di trasporto dello studente y”.

Questa relazione è:

• riflessiva perché ogni studente utilizza un mezzo di trasporto per andare a scuola: xRx;
• simmetrica perché se lo studente x utilizza lo stesso mezzo di trasporto dello studente y, è vero anche l’inverso: xRy → yRx;
• transitiva perchè se x utilizza lo stesso mezzo di trasporto di y e y quello di z allora anche x utilizza lo stesso mezzo di trasporto di z : se xRy e yRz → xRz.

Essendo riflessiva, simmetrica e transitiva, questa è una Relazione di Equivalenza che permette di ordinare gli studenti secondo un criterio di ripartizione.

Nello stesso modo, è possibile suddividere in vari sottoinsiemi gli studenti di una scuola, introducendo diverse Relazioni di Equivalenza:

• xRy se “x è uno studente della stessa sezione di y” oppure…
• xRy se “x è uno studente della stessa età di y”.

I sottoinsiemi che si vengono a formare, chiamati Classi di Equivalenza,  hanno le seguenti caratteristiche:

• nessun sottoinsieme è vuoto;
• ogni sottoinsieme non ha elementi in comune con gli altri;
• l’unione di tutti i sottoinsiemi da l’insieme di partenza.

Di conseguenza, l’unione di tutte le Classi di Equivalenza coincide con l’insieme iniziale, che ora risulta strutturato ed organizzato secondo la relazione prescelta.